![\"\"](\"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-content\/uploads\/2024\/06\/derivadas_concepto-1024x602.png\")
<\/figure>\n\n\n\nEn el gr\u00e1fico podemos observar la curva de una funci\u00f3n en color rojo, y un punto A ( x, f(x) ) en esa curva cuya tangente a la curva genera una recta que nos ayudar\u00e1 a entender el concepto de derivada. Tambi\u00e9n vemos otro punto C ( x+h, f(x+h) ), siendo h una cantidad dada que hace aumentar x. Como podemos observar, la recta tangente en un punto de la curva, se va alejando progresivamente seg\u00fan aumentamos h, pero si lo que hacemos es disminuir h, lo que ocurre es que el valor de ese punto de la tangente cada vez se aproxima m\u00e1s al propio valor en la curva.<\/p>\n\n\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h} <\/span>\n\n\n\n Es decir, que la raz\u00f3n entre el incremento de la ordenada ( f(x+h)-f(x) ) y el incremento de la abscisa ( h ) cuando este incremento h tiende a ser 0, es en realidad el valor de la tangente del \u00e1ngulo en ese punto de la funci\u00f3n en cuesti\u00f3n, y ser\u00e1 la derivada de esa funci\u00f3n en ese punto, algo que se utilizar\u00e1 muy recurrentemente en el an\u00e1lisis de las funciones para hallar los puntos m\u00e1ximos y m\u00ednimos, es decir, aquellos puntos cuya tangente tiene como valor 0 por ser rectas paralelas al eje de abscisas y por tanto con \u00e1ngulo 0, cuya tangente es 0.<\/p>\n\n\n\n ~~~ y = f(x) = f(g(x)) ~~~ \\Rightarrow ~~~ y\\prime =\n\nf\\prime(x) = \\frac{df}{dg}~\u00b7~\\frac{dg}{dx} <\/span> Vayamos pues, una vez conocidas las derivadas m\u00e1s frecuentes, a su demostraci\u00f3n, para ser conscientes de c\u00f3mo se llega a la conclusi\u00f3n de cual es la funci\u00f3n derivada de una establecida.<\/p>\n\n\n\n Veamos:<\/p>\n\n\n Suponiendo las funciones g(x) y f(g(x)) derivables para todo x:<\/p>\n ~~~ y = f(x) = f(g(x)) <\/span> Se comprueba as\u00ed:<\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} = lim_{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta f}{\\Delta g}~\u00b7~\\frac{\\Delta g}{\\Delta x} = lim_{\\Delta g \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta f}{\\Delta g}~\u00b7~lim_{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta g}{\\Delta x} = \\frac{df}{dg}~\u00b7~\\frac{dg}{dx} <\/span> Veamos este caso:<\/p>\n\n\n ~~~ y = f(x) = w(x) + t(x) <\/span> Si reorganizamos t\u00e9rminos:<\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{w(x+h) - w(x)}{h} + lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{t(x+h) - t(x)}{h} = w\\prime(x) + t\\prime(x) <\/span> Veamos el caso del producto de dos funciones:<\/p>\n\n\n ~~~ y = f(x) = w(x)~t(x) <\/span> Ahora vamos a sumar y restar w(x)~t(x+h)<\/span>:<\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{w(x+h)~t(x+h) - w(x)~t(x) + w(x)~t(x+h) - w(x)~t(x+h)}{(x+h)-x} <\/span>\n Ahora reorganicemos los t\u00e9rminos:<\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{t(x+h)~(w(x+h) - w(x)) + w(x)~( t(x+h) - t(x) ) }{h} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{t(x+h)~(w(x+h) - w(x))}{h} + lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{ w(x)~( t(x+h) - t(x) ) }{h} <\/span> Resolvamos el caso de una divisi\u00f3n de funciones, que ser\u00e1 el caso de la derivada de un producto y de la derivada de un polinomio. Veamos pues:<\/p>\n\n\n ~~~ y = f(x) = \\frac{w(x)}{t(x)} = w(x)~t(x)^{-1} <\/span> Sabiendo que:<\/p>\n ~~~ f(x) = w(x)~t(x) \\Rightarrow f\\prime(x) = w\\prime(x)~t(x) + w(x)~t\\prime(x) <\/span> Tenemos que:<\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = (w(x)~t(x)^{-1})\\prime = w\\prime(x)~t(x)^{-1} + w(x)~(t(x)^{-1})\\prime = w\\prime(x)~t(x)^{-1} + w(x)~(-\\frac{1}{t(x)^2}) = \\frac{w\\prime(x)~t(x) - w(x)~t\\prime(x)}{t(x)^2} <\/span> Vamos a ilustrar esto que acabamos de exponer con un ejemplo de una funci\u00f3n de x polin\u00f3mica de la que sabremos su derivada f\u00e1cilmente, y veamos qu\u00e9 ocurre:<\/p>\n\n\n Sea:<\/p>\n ~~~ y = f(x) = c_n~x^n + c_{n-1}~x^{n-1} + ... + c_1~x + c_0 <\/span>\n Su derivada es:<\/p>\n ~~~ y\\prime = f\\prime(x) = c_n~n~x^{n-1} + c_{n-1}~(n-1)~x^{n-2} + ... + c_2~2~x + c_1 <\/span>\n Y ahora apliquemos lo que hemos aprendido:<\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)~-~f(x)}{(x+h)-x} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)~-~f(x)}{h} <\/span> Sabiendo:<\/p>\n ~~~ (x+h)^n = \\binom{n}{0}~x^n~h^0 + \\binom{n}{1}~x^{n-1}~h^1 + \\binom{n}{2}~x^{n-2}~h^2 + ... + \\binom{n}{n-1}~x^{n-(n-1)}~h^{n-1} + \\binom{n}{n}~x^{n-n}~h^n <\/span> Con ello tenemos:<\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{(~h~(~c_n~\\binom{n}{1}~x^{n-1}~+~c_n~\\sum_{i=2}^{n}\\binom{n}{i}~x^{n-i}~h^{i-1}~)~)~+~(~h~(~c_{n-1}~\\binom{n-1}{1}~x^{(n-1)-1}~+~c_{n-1}~\\sum_{i=2}^{n-1}\\binom{n-1}{i}~x^{(n-1)-i}~h^{i-1}~)~)~+~...~+~h~(~c_2~2~x~+c_2~h~)~+~h~c_1~)}{h} <\/span> Veamos ahora el caso particular:<\/p>\n Sea:<\/p>\n ~~~ y = f(x) = 4 x^3 + 5 x + 3 <\/span>\n Su derivada es:<\/p>\n ~~~ y\\prime = 12 x^2 + 5 <\/span>\n Y ahora apliquemos lo que hemos aprendido:<\/p>\n ~~~ f(x+h) = 4 (x+h)^3 + 5 (x+h) + 3 = 4 (x^3 + 3 x^2 h + 3 x h^2 + h^3) + 5 (x+h) + 3 = 4 x^3 + 12 x^2 h + 12 x h^2 + 4 h^3 + 5 x + 5 h + 3 <\/span> Y aplicando el l\u00edmite cuando h tiende a 0:<\/p>\n ~~~ y\\prime = f\\prime(x) = 12 x^2 + 5 <\/span>\n Y en efecto, ha quedado demostrado la derivada de la funci\u00f3n y su valor tal como lo conocemos.<\/p>\n En realidad, de forma gen\u00e9rica para una funci\u00f3n polin\u00f3mica se tiene que, siendo la funci\u00f3n:<\/p>\n ~~~ f(x) = c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + ... + c_1 x + c_0 <\/span>\n Su derivada ser\u00e1:<\/p>\n ~~~ \\boxed{ f\\prime(x) = c_n n x^{n-1} + c_{n-1} (n-1) x^{n-2} + ... + c_2 2 x + c_1 } <\/span> Vamos a ver el caso de una potencia. Pero b\u00e1sicamente, podemos decir que es el caso particular de una funci\u00f3n polin\u00f3mica reducida a la expresi\u00f3n de una potencia.<\/p>\n\n\n Si tenemos:<\/p>\n ~~~ y = f(x) = a^n <\/span>\n Su derivada ser\u00e1:<\/p>\n ~~~ y = f\\prime(x) = n~a^{n-1} <\/span>\n Y como hemos dicho antes, no tendr\u00edamos m\u00e1s que revisar el caso de una funci\u00f3n polin\u00f3mica y eliminar los t\u00e9rminos que no nos hagan falta y los coeficientes que sobren, y tendremos que:<\/p>\n ~~~ \\boxed{y = f\\prime(x) = n~a^{n-1}} <\/span>\n ~~~ <\/span>\n\n\n\n Veamos ahora otro ejemplo distinto. Sea una funci\u00f3n logar\u00edtmica en base n:<\/p>\n\n\n Sea:<\/p>\n ~~~ y = f(x) = log_n (x) = log_n (x) <\/span>\n Su derivada es:<\/p>\n ~~~ y\\prime = f\\prime(x) = \\frac{1}{ln (a)~x} <\/span>\n As\u00ed que:<\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{log_a (x+h) - log_a (x)}{h}\n\n= lim_{h \\rightarrow 0} log_a (\\frac{x+h}{x})^\\frac{1}{h} = lim_{h \\rightarrow 0} log_a (1 + \\frac{h}{x})^\\frac{1}{h} = log_a lim_{h \\rightarrow 0} (1 + \\frac{h}{x})^\\frac{1}{h} <\/span>\n Ahora hacemos:<\/p>\n ~~~ h = n~x <\/span>\n Y tenemos:<\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = log_a lim_{n \\rightarrow 0} (1 + n)^{\\frac{1}{n}~\\frac{1}{x}} = \\frac{1}{x}~log_a~lim_{n \\rightarrow 0} (1 + n)^{\\frac{1}{n}} = \\frac{1}{x}~log_a~e <\/span>\n Y sabiendo que:<\/p>\n ~~~ log_a x = \\frac{log_b x}{log_b a} <\/span>\n Tendremos que:<\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = \\frac{1}{x}~log_a~e = \\frac{1}{x}~\\frac{log_e~e}{log_e~a} = \\frac{1}{x}~\\frac{1}{ln~a} <\/span> Veamos ahora otro ejemplo distinto. Sea una funci\u00f3n logar\u00edtmica en base e, y veamos su derivada de la misma forma que hemos hecho antes:<\/p>\n\n\n Sea:<\/p>\n ~~~ y = f(x) = ln (x) = log_e (x) <\/span>\n Su derivada es:<\/p>\n ~~~ y\\prime = \\frac{1}{x} <\/span>\n Aplicando:<\/p>\n ~~~ f(x+h) = ln (x+h) <\/span> Si ahora hacemos:<\/p>\n ~~~ n = \\frac{h}{x} \\rightarrow h = n x <\/span>\n Con ello:<\/p>\n ~~~ n \\rightarrow 0 <\/span>\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{ln (x+h) - ln (x)}{h}\n\n= lim_{h \\rightarrow 0} ln (\\frac{x+h}{x})^\\frac{1}{h} = lim_{h \\rightarrow 0} ln (1 + \\frac{h}{x})^\\frac{1}{h} <\/span>\n Sustituimos h por n \u00b7 x:<\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{n \\rightarrow 0} ln (1 + \\frac{n x}{x})^\\frac{1}{(n x)} = lim_{n \\rightarrow 0} ln (1 + n)^{ {\\frac{1}{n}} {\\frac{1}{x}} } = lim_{n \\rightarrow 0} \\frac{1}{x} ln (1 + n)^{ {\\frac{1}{n}} } = \\frac{1}{x} lim_{n \\rightarrow 0} ln (1 + n)^{ {\\frac{1}{n}} } = \\frac{1}{x} ln ( lim_{n \\rightarrow 0} (1 + n)^{ {\\frac{1}{n}} } ) <\/span>\n Y sabiendo que:<\/p>\n ~~~ lim_{n \\rightarrow 0} (1 + n)^{ {\\frac{1}{n}} } = e <\/span>\n Tenemos finalmente que:<\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = \\frac{1}{x} ln (e) = \\frac{1}{x} <\/span> Veamos ahora el caso del seno:<\/p>\n\n\n Sea:<\/p>\n ~~~ y = f(x) = sen (x) <\/span>\n Su derivada es:<\/p>\n ~~~ y\\prime = cos (x) <\/span>\n Ahora desarrollemos la derivada:<\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{sen (x+h) - sen (x)}{h} <\/span>\n Sabiendo que:<\/p>\n ~~~ sen(a+b) = sen(a)~cos(b) + sen(b)~cos(a) <\/span>\n Tenemos:<\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{sen(x)~cos(h) + sen(h)~cos(x) - sen(x)}{h} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{sen(x)~(cos(h) - 1) + sen(h)~cos(x)}{h} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{sen(x)~(cos(h) - 1)}{h} + lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{sen(h)~cos(x)}{h} = sen(x)~lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{cos(h) - 1}{h} + cos(x)~lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{sen(h)}{h} <\/span>\n Y aqu\u00ed tenemos dos l\u00edmites que resolver:<\/p>\n ~~~ lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{cos(h) - 1}{h} = 0 <\/span> Con lo que finalmente:<\/p>\n ~~~ \\boxed{ f\\prime(x) = cos(x) } <\/span>\n ~~~ <\/span>\n\n\n\n Veamos ahora el caso del coseno:<\/p>\n\n\n Sea:<\/p>\n ~~~ y = f(x) = cos (x) <\/span>\n Su derivada es:<\/p>\n ~~~ y\\prime = -sen (x) <\/span>\n Ahora desarrollemos la derivada:<\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{cos (x+h) - cos (x)}{h} <\/span>\n Sabiendo que:<\/p>\n ~~~ cos(a+b) = cos(a)~cos(b) - sen(b)~sen(a) <\/span>\n Tenemos:<\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{cos(x)~cos(h) - sen(x)~sen(h) - cos(x)}{h} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{cos(x)~(cos(h) - 1) + sen(x)~sen(h))}{h} = cos (x)~lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{cos(h) - 1}{h} - sen(x)~lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{sen(h)}{h} <\/span>\n Y aqu\u00ed tenemos dos l\u00edmites que resolver:<\/p>\n ~~~ lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{cos(h) - 1}{h} = 0 <\/span> Con lo que finalmente:<\/p>\n ~~~ \\boxed{ f\\prime(x) = -sen(x) } <\/span>\n ~~~ <\/span>\n\n\n\n Veamos ahora el caso de la tangente:<\/p>\n\n\n Sea:<\/p>\n ~~~ y = f(x) = tg (x) = \\frac{sen(x)}{cos(x)} = sen(\n\nx)~cos(x)^{-1} <\/span>\n Su derivada es:<\/p>\n ~~~ y\\prime = f\\prime(x) = \\frac{1}{cos^2 x} <\/span>\n Ahora desarrollemos la derivada:<\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = \\frac{(sen(x))\\prime~cos(x) - sen(x)~(cos(x))\\prime}{cos^2(x)} = \\frac{cos(x)~cos(x) - sen(x)~(-sen(x))}{cos^2(x)} = \\frac{cos^2(x) + sen^2(x)}{cos^2(x)} = \\frac{1}{cos^2(x)} <\/span> Cuando estamos manejando el concepto de derivada de una funci\u00f3n, cabe destacar que es importante que dicha funci\u00f3n sea cont\u00ednua en dicho punto en su definici\u00f3n. En los anteriores casos hemos asumido que las funciones eran derivables en un dominio completo de los n\u00fameros reales en un intervalo abierto desde -\\infty<\/span> a +\\infty<\/span>, y los resultados de las demostraciones son gen\u00e9ricas para dichos intervalos.<\/p>\n\n\n\n Y en cuanto a la continuidad de las funciones ser\u00e1 importante tener en cuenta que la continuidad de las funciones a la hora de derivar es necesaria pero no suficiente, ya que existir\u00e1n casos que a pesar de existir una continuidad, sin embargo presentan problemas en su derivabilidad, l\u00e9ase el caso de una funci\u00f3n como f(x) = |x| .<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" La derivada de una funci\u00f3n es un concepto muy relevante en el mundo de las matem\u00e1ticas y que define la variaci\u00f3n infinitesimal de una funci\u00f3n en un punto.<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":535,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_seopress_robots_primary_cat":"none","_seopress_titles_title":"%%post_title%%","_seopress_titles_desc":"%%post_excerpt%%","_seopress_robots_index":"","footnotes":""},"categories":[21],"tags":[],"class_list":["post-533","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-analisis-matematico"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/533","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=533"}],"version-history":[{"count":293,"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/533\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1007,"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/533\/revisions\/1007"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/media\/535"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=533"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=533"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=533"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}Derivadas conocidas<\/h4>\n\n\n
\n ~~~ y = f(x) = w(x) + t(x) ~~~ \\Rightarrow ~~~ y\\prime =\n\nf\\prime(x) = w\\prime(x) + t\\prime(x) = w\\prime + t\\prime <\/span>
\n ~~~ y = f(x) = w(x)~t(x) ~~~ \\Rightarrow ~~~ y\\prime =\n\nf\\prime(x) = w\\prime(x)~t(x) + w(x)~t\\prime(x) = w\\prime~t + w~t\\prime <\/span>
\n ~~~ y = f(x) = \\frac{w(x)}{t(x)} ~~~ \\Rightarrow ~~~ y\\prime =\n\nf\\prime(x) = \\frac{w\\prime(x)~t(x) - w(x)~t\\prime(x)}{t^2(x)} = \\frac{w\\prime~t - w~t\\prime}{t^2} <\/span>
\n ~~~ y = f(x) = c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + ... + c_1 x + c_0 ~~~ \\Rightarrow ~~~ y\\prime =\n\nf\\prime(x) = c_n n x^{n-1} + c_{n-1} (n-1) x^{n-2} + ... + c_2 2 x + c_1 <\/span>
\n ~~~ y = f(x) = ln~x ~~~ \\Rightarrow ~~~ y\\prime =\n\nf\\prime(x) = \\frac{1}{x} <\/span>
\n ~~~ y = f(x) = log_a~x ~~~ \\Rightarrow ~~~ y\\prime = f\\prime(x) = \\frac{1}{x~ln~a} <\/span>
\n ~~~ y = f(x) = sen~x ~~~ \\Rightarrow ~~~ y\\prime =\n\nf\\prime(x) = cos~x <\/span>
\n ~~~ y = f(x) = cos~x ~~~ \\Rightarrow ~~~ y\\prime =\n\nf\\prime(x) = -sen~x <\/span>
\n ~~~ y = f(x) = tg~x ~~~ \\Rightarrow ~~~ y\\prime =\n\nf\\prime(x) = \\frac{1}{cos^2~x} <\/span><\/p>\n~~~<\/span>\n\n\n\nDemostraci\u00f3n para una funci\u00f3n de funciones (regla de la cadena)<\/h4>\n\n\n\n
\n ~~~ y\\prime = f\\prime(x) = \\frac{df}{dx} = \\frac{df}{dg}~\u00b7~\\frac{dg}{dx} <\/span><\/p>\n
\n ~~~ f\\prime(x) = \\frac{df}{dx} = \\frac{df}{dg}~\u00b7~\\frac{dg}{dx} <\/span>
\n ~~~ \\boxed{\\frac{df}{dx} = \\frac{df}{dg}~\u00b7~\\frac{dg}{dx}} <\/span><\/p>\n~~~<\/span>\n\n\n\nDemostraci\u00f3n para una suma de funciones<\/h4>\n\n\n\n
\n ~~~ y\\prime = f\\prime(x) = w\\prime(x) + t\\prime(x) <\/span><\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{w(x+h) + t(x+h) - ( w(x) + t(x) )}{(x+h)-x} <\/span>\n
\n ~~~ \\boxed{ f\\prime(x) = w\\prime(x) + t\\prime(x) } <\/span><\/p>\n~~~<\/span>\n\n\n\nDemostraci\u00f3n para un producto de funciones<\/h4>\n\n\n\n
\n ~~~ y\\prime = f\\prime(x) = w\\prime(x)~t(x) + w(x)~t\\prime(x) <\/span><\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{w(x+h)~t(x+h) - w(x)~t(x)}{(x+h)-x} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{w(x+h)~t(x+h) - w(x)~t(x) + w(x)~t(x+h) - w(x)~t(x+h)}{(x+h)-x} <\/span>\n
\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} t(x+h)~lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{w(x+h) - w(x)}{h} + lim_{h \\rightarrow 0} w(x)~lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{ t(x+h) - t(x) }{h} = t(x)~w\\prime(x) + w(x)~t\\prime(x) <\/span>
\n ~~~ \\boxed{ f\\prime(x) = t(x)~w\\prime(x) + w(x)~t\\prime(x) }<\/span>
\n~~~<\/span><\/p>\n\n\n\nDemostraci\u00f3n para una divisi\u00f3n de funciones<\/h4>\n\n\n\n
\n ~~~ y\\prime = f\\prime(x) = w\\prime(x)~t(x) + w(x)~t\\prime(x) <\/span><\/p>\n
\n ~~~ f(x) = \\frac{1}{t(x)} = t(x)^{-1} \\Rightarrow f\\prime(x) = (-1)~t(x)^{-1-1} = - t(x)^{-2} = -\\frac{1}{t(x)^2}~t\\prime(x) <\/span><\/p>\n
\n ~~~ \\boxed{f\\prime(x) = \\frac{w\\prime(x)~t(x) - w(x)~t\\prime(x)}{t(x)^2}} <\/span><\/p>\n~~~<\/span>\n\n\n\nDemostraci\u00f3n para una funci\u00f3n polin\u00f3mica<\/h4>\n\n\n\n
\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{(c_n~(x+h)^n~+~c_{n-1}~(x+h)^{n-1}~+~c_{n-2}~(x+h)^{n-2}~+~...~+~c_2~(x+h)^2~+~c_1~(x+h)~+~c_0)~-~(c_n~x^n~+~c_{n-1}~x^{n-1}~+~c_{n-2}~x^{n-2}~+~...~+~c_2~x^2~+~c_1~x~+~c_0)}{h} <\/span>
\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{(~c_n~(x+h)^n-~c_n~x^n)~+~(c_{n-1}~(x+h)^{n-1}~-~c_{n-1}~x^{n-1}~)~+~(~c_{n-2}~(x+h)^{n-2}~-~c_{n-2}~x^{n-2}~)~+~...~+~(~c_2~(x+h)^2-c_2~x^2~)~+~(~c_1~(x+h)-~c_1~x~)~+~(~c_0-~c_0)~)}{h} <\/span><\/p>\n
\n ~~~ (x+h)^n = \\binom{n}{0}~x^n + \\binom{n}{1}~x^{n-1}~h + \\binom{n}{2}~x^{n-2}~h^2 + ... + \\binom{n}{n-1}~x~h^{n-1} + \\binom{n}{n}~h^n <\/span>
\n ~~~ (x+h)^n = \\sum_{i=0}^{n}\\binom{n}{i}~x^{n-i}~h^i = \\binom{n}{0}~x^n + h~(\\sum_{i=1}^{n}\\binom{n}{i}~x^{n-i}~h^{i-1}) = \\binom{n}{0}~x^n + h~(~\\binom{n}{1}~x^{n-1} + \\sum_{i=2}^{n}\\binom{n}{i}~x^{n-i}~h^{i-1}~) <\/span>
\n ~~~ (x+h)^n = x^n + h~(~\\binom{n}{1}~x^{n-1} + \\sum_{i=2}^{n}\\binom{n}{i}~x^{n-i}~h^{i-1}~) <\/span>
\n ~~~ c_n~(x+h)^n = c_n~x^n + h~c_n~(~\\binom{n}{1}~x^{n-1} + \\sum_{i=2}^{n}\\binom{n}{i}~x^{n-i}~h^{i-1}~) <\/span>
\n ~~~ c_n~(x+h)^n - c_n~x^n = h~c_n~(~\\binom{n}{1}~x^{n-1} + \\sum_{i=2}^{n}\\binom{n}{i}~x^{n-i}~h^{i-1}~) <\/span><\/p>\n
\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{h~(~(~c_n~\\binom{n}{1}~x^{n-1}~+~c_n~\\sum_{i=2}^{n}\\binom{n}{i}~x^{n-i}~h^{i-1}~)~+~(~c_{n-1}~\\binom{n-1}{1}~x^{(n-1)-1}~+~c_{n-1}~\\sum_{i=2}^{n-1}\\binom{n-1}{i}~x^{(n-1)-i}~h^{i-1}~)~+~...~+~(~c_2~2~x~+c_2~h~)~+~c_1~)~)}{h} <\/span>
\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} (~c_n~\\binom{n}{1}~x^{n-1}~+~c_n~\\sum_{i=2}^{n}\\binom{n}{i}~x^{n-i}~h^{i-1}~)~+~(~c_{n-1}~\\binom{n-1}{1}~x^{(n-1)-1}~+~c_{n-1}~\\sum_{i=2}^{n-1}\\binom{n-1}{i}~x^{(n-1)-i}~h^{i-1}~)~+~...~+~(~c_2~2~x~+c_2~h~)~+~c_1~) <\/span>
\n ~~~ f\\prime(x) = c_n~\\binom{n}{1}~x^{n-1}~+~c_{n-1}~\\binom{n-1}{1}~x^{(n-1)-1}~+~...~+~c_2~2~x~+~c_1 <\/span>
\n ~~~ \\boxed{f\\prime(x) = c_n~n~x^{n-1}~+~c_{n-1}~(n-1)~x^{(n-1)-1}~+~...~+~c_2~2~x~+~c_1} <\/span>
\n ~~~ f\\prime(x) = \\sum_{i=1}^n c_i~i~x^{i-1} <\/span><\/p>\n
\n ~~~ f(x) = 4 x^3 + 5 x + 3 <\/span><\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{4 x^3 + 12 x^2 h + 12 x h^2 + 4 h^3 + 5 x + 5 h + 3 - 4 x^3 - 5 x - 3}{h} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{12 x^2 h + 12 x h^2 + 4 h^3 + 5 h}{h} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{h ( 12 x^2 + 12 x h + 4 h^2 + 5)}{h} = lim_{h \\rightarrow 0} 12 x^2 + 12 x h + 4 h^2 + 5 <\/span>\n
\n~~~<\/span><\/p>\n\n\n\nDemostraci\u00f3n para una potencia<\/h4>\n\n\n\n
Demostraci\u00f3n para el logar\u00edtmo<\/h4>\n\n\n\n
\n ~~~ \\boxed{f\\prime(x) = \\frac{1}{x~ln~a}} <\/span><\/p>\n ~~~ <\/span>\n\n\n\nDemostraci\u00f3n para el logar\u00edtmo neperiano<\/h4>\n\n\n\n
\n ~~~ f(x) = ln (x) <\/span><\/p>\n ~~~ f\\prime(x) = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{ln (x+h) - ln (x)}{h}\n\n= lim_{h \\rightarrow 0} ln (\\frac{x+h}{x})^\\frac{1}{h} = lim_{h \\rightarrow 0} ln (1 + \\frac{h}{x})^\\frac{1}{h} <\/span>\n
\n ~~~ \\boxed{ f\\prime(x) = \\frac{1}{x} } <\/span><\/p>\n~~~<\/span>\n\n\n\nDemostraci\u00f3n para el seno<\/h4>\n\n\n\n
\n ~~~ lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{sen(h)}{h} = 1 <\/span><\/p>\nDemostraci\u00f3n para el coseno<\/h4>\n\n\n\n
\n ~~~ lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{sen(h)}{h} = 1 <\/span><\/p>\nDemostraci\u00f3n para la tangente<\/h4>\n\n\n\n
\n ~~~ \\boxed{f\\prime(x) = \\frac{1}{cos^2 x}} <\/span><\/p>\n~~~<\/span>\n\n\n\nConcepto de derivabilidad y continuidad en la derivaci\u00f3n<\/h4>\n\n\n