Vamos a ver a continuaci\u00f3n lo que son los sistemas de ecuaciones y su resoluci\u00f3n y m\u00e9todos.<\/p>\n\n\n\n
Sea un sistema de ecuaciones de ejemplo:<\/p>\n\n\n
~~~ x + 2y + 3z = 4 <\/span> Para poder resolver el sistema es importante tener en cuenta lo siguiente:<\/p>\n\n\n\n Como podemos observar en nuestro ejemplo, tenemos 3 ecuaciones para 3 variables: x, y, z , lo cual garantizar\u00e1 que podamos resolver nuestro sistema. Luego analizaremos qu\u00e9 podr\u00eda ocurrir si tenemos m\u00e1s ecuaciones que variables, lo cual tambi\u00e9n es algo a lo que hay que prestar atenci\u00f3n, ya que podr\u00eda dar lugar a una inconsistencia en el sistema o bien la interdependencia de alguna de esas ecuaciones entre s\u00ed. Pero eso, mejor ve\u00e1moslo m\u00e1s delante. Ahora vamos a centrarnos en la resoluci\u00f3n de un sistema de ecuaciones donde tenemos n = m, es decir, mismo n\u00famero de variables que de ecuaciones. Empecemos pues.<\/p>\n\n\n\n Vamos a reducir el problema a un sistema de ecuaciones de 2 variables y 2 ecuaciones, ya que ser\u00e1 m\u00e1s sencillo entender las operaciones que realicemos.<\/p>\n\n\n ~~~ x + 2y = 4 <\/span> Bien, en este punto cabe destacar los distintos m\u00e9todos por los que podemos optar en la resoluci\u00f3n del sistema de ecuaciones:<\/p>\n\n\n\n Este m\u00e9todo tratar\u00e1 de aislar las variables en las ecuaciones, de forma que una vez hecho, podamos sustituirlas en la ecuaci\u00f3n restante que no haya intervenido en esa operaci\u00f3n. Vamos con el ejemplo propuesto:<\/p>\n\n\n ~~~ x + 2y = 4 <\/span> Y una vez hecho esto, sustituir\u00edamos en valor de esa variable en la ecuaci\u00f3n o ecuaciones restante (n\u00f3tese que estamos operando con 2 ecuaciones en el ejemplo, pero podr\u00edamos extenderlo a m\u00e1s ecuaciones).<\/p>\n\n\n\n As\u00ed que, procedemos:<\/p>\n\n\n ~~~ x - y = 8 <\/span> Despejando:<\/p>\n ~~~ y = \\frac{8 - 4}{-3} = -\\frac{4}{3} <\/span>\n Y por tanto:<\/p>\n ~~~ x = 4 - 2y = 4 - 2~(-\\frac{4}{3}) = 4 + \\frac{8}{3} = \\frac{20}{3} <\/span>\n Y como creemos que nuestra soluci\u00f3n es correcta, \u00fanicamente nos quedar\u00e1 realizar la comprobaci\u00f3n pertinente, que ser\u00e1 escogiendo una de las ecuaciones y verificando la igualdad que manifiestan:<\/p>\n ~~~ x - y = 8 <\/span> Y en efecto, se verifica que nuestra resoluci\u00f3n es correcta.<\/p>\n ~~~ x = \\frac{20}{3} <\/span> Este m\u00e9todo por el contrario lo que va a buscar es la realizaci\u00f3n de alguna operaci\u00f3n entre ecuaciones que reduzca el n\u00famero de variables, de modo que se pueda despejar despu\u00e9s de ello f\u00e1cilmente. Pero, vayamos a ello y ve\u00e1moslo con el ejemplo:<\/p>\n\n\n Dadas las ecuaciones:<\/p>\n ~~~ x + 2y = 4 <\/span> Realizaremos una operaci\u00f3n de resta de la primera menos la segunda, ya que el t\u00e9rmino x es igual en ambas ecuaciones. Si no fuese as\u00ed, deber\u00edamos forzarlo, multiplicando o dividiendo por el coeficiente adecuado. Despu\u00e9s de esta operaci\u00f3n, veremos en qu\u00e9 consiste esto, pero ahora vayamos a lo que hemos propuesto.<\/p>\n ~~~ x + 2y - (x - y) = 4 - 8 <\/span> y sustituyendo:<\/p>\n ~~~ x = 4 - 2y = \\frac{20}{3} <\/span>\n Y por tanto:<\/p>\n ~~~ x = \\frac{20}{3} <\/span> Y como hab\u00edamos sugerido antes, vamos a ver qu\u00e9 har\u00edamos si quisi\u00e9ramos hacer esa reducci\u00f3n a trav\u00e9s de la variable y:<\/p>\n ~~~ x + 2y = 4 <\/span> Multiplicamos la segunda igualdad por 2:<\/p>\n ~~~ x + 2y = 4 <\/span> Y al tener el t\u00e9rmino 2y y -2y en ambas ecuaciones, lo que hacemos en sumarlas, quedando as\u00ed:<\/p>\n ~~~ 3x = 20 <\/span>\n Y despejando:<\/p>\n ~~~ x = \\frac{20}{3} <\/span> Y vemos que llegamos al mismo punto.<\/p>\n\n\n\n Y finalmente este m\u00e9todo consistir\u00e1 en la igualaci\u00f3n de variables despu\u00e9s de despejar ambas en sus respectivas <\/p>\n\n\n\n ecuaciones. Veamos:<\/p>\n\n\n Dadas:<\/p>\n ~~~ x + 2y = 4 <\/span> Despejamos la x, por ejemplo:<\/p>\n ~~~ x = 4 - 2y <\/span> E igualamos ambos t\u00e9rminos:<\/p>\n ~~~ 4 - 2y = 8 + y <\/span>\n Y despejando la y:<\/p>\n ~~~ y = -\\frac{4}{3} <\/span>\n As\u00ed que:<\/p>\n ~~~ x = \\frac{20}{3} <\/span> La resoluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones es relativamente sencilla, pero es muy importante dominarla en sus tres formas de resoluci\u00f3n, ya que aparte de darnos m\u00e1s visi\u00f3n de c\u00f3mo se puede operar, nos proporcionar\u00e1 una gran habilidad para elegir la que mejor se ajuste a las ecuaciones que tengamos que resolver.<\/p>\n\n\n\n En todo momento, los resultados se ofrecen en forma de fracciones, sin necesidad de recurrir a ning\u00fan c\u00e1lculo para obtener un n\u00famero con sus correspondientes decimales. Esto es absolutamente intencionado y necesario en el mundo de las matem\u00e1ticas, donde el resultado se puede ofrecer de una forma conceptual, sin llegar a dar un resultado preciso, como a veces se da en disciplinas como la f\u00edsica. Y esto es sumamente importante tenerlo en cuenta. En el caso que nos ocupa, estamos hablando de fracciones en el campo de los n\u00famero racionales, pero se vuelve si cabe m\u00e1s importante, cuando utilizamos n\u00fameros irracionales como pueden ser el n\u00famero Pi, Phi o e, donde los resultados se deben mostrar en forma fracci\u00f3n sin llegar a ning\u00fan c\u00e1lculo preciso. Obtenemos as\u00ed formas m\u00e1s elegantes y conceptuales de los resultados, que de seguro agradar\u00e1n a cualquiera que nos est\u00e9 evaluando. Es decir:<\/p>\n\n\n Siempre ser\u00e1 mejor y m\u00e1s elegante ofrecer un resultado tal que:<\/p>\n ~~~ x = \\frac{4}{3} <\/span> que no resultados de este tipo:<\/p>\n ~~~ x = 1.3333... <\/span> Y en esa l\u00ednea, ofrezcan siempre resultados fraccionarios con n\u00fameros enteros en el numerador y el denominador, evitando por completo los decimales:<\/p>\n ~~~ x = \\frac{4}{3}~\\pi^2~x^3 <\/span>\n en vez de:<\/p>\n ~~~ x = 13.15947~x^3 <\/span>\n Y como digo, esto es un signo claro de elegancia matem\u00e1tica, y no invalida resultados con decimales, pero s\u00ed ensucia el resultado. Y en el caso de los n\u00fameros irracionales, cuyos decimales no se pueden modelizar, har\u00e1 que nuestro resultado sea m\u00e1s incorrecto que el hecho de haber utilizado fracciones.<\/p>\n\n\n\n \u00a1\u00a1Felices mates!!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Vamos a ver a continuaci\u00f3n lo que son los sistemas de ecuaciones y su resoluci\u00f3n y m\u00e9todos. 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\n ~~~ 3x - y + 4z = 6 <\/span>
\n ~~~ - x + y + 2z = 1 <\/span><\/p>\n\n\n\n\n
m~\\geq~n<\/span><\/code>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
\n ~~~ x - y = 8 <\/span><\/p>\n\n\n\n\n
M\u00e9todo de sustituci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n
\n ~~~ x = 4 - 2y <\/span><\/p>\n\n\n\n
\n ~~~ (4 - 2y) - y = 8 <\/span>
\n ~~~ 4 - 3y = 8 <\/span><\/p>\n
\n ~~~ \\frac{20}{3}~-~( -\\frac{4}{3} ) = 8 <\/span>
\n ~~~ \\frac{20}{3} + \\frac{4}{3} = \\frac{24}{3} = 8 <\/span><\/p>\n
\n ~~~ y = -\\frac{4}{3} <\/span><\/p>\n\n\n\nM\u00e9todo de reducci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n
\n ~~~ x - y = 8 <\/span><\/p>\n
\n ~~~ 3y = -4 <\/span>
\n ~~~ y = -\\frac{4}{3} <\/span><\/p>\n
\n ~~~ y = -\\frac{4}{3} <\/span><\/p>\n
\n ~~~ x - y = 8 <\/span><\/p>\n
\n ~~~ 2x - 2y = 16 <\/span><\/p>\n
\n ~~~ y = -\\frac{4}{3} <\/span><\/p>\nM\u00e9todo de igualaci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n
\n ~~~ x - y = 8 <\/span><\/p>\n
\n ~~~ x = 8 + y <\/span><\/p>\n
\n ~~~ y = -\\frac{4}{3} <\/span><\/p>\n\n\n\nResumen<\/h3>\n\n\n\n
Nota importante<\/h5>\n\n\n\n
\n ~~~ x = \\frac{\\pi}{2} <\/span><\/p>\n
\n ~~~ x = 1.5707... <\/span><\/p>\n