{"id":17,"date":"2024-05-25T22:15:17","date_gmt":"2024-05-25T20:15:17","guid":{"rendered":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/?p=17"},"modified":"2024-07-24T13:35:42","modified_gmt":"2024-07-24T11:35:42","slug":"el-numero-de-oro-o-numero-aureo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/el-numero-de-oro-o-numero-aureo\/","title":{"rendered":"El n\u00famero de oro o n\u00famero \u00e1ureo y la serie de Fibonacci"},"content":{"rendered":"\n

Breve historia<\/h3>\n\n\n\n

Las matem\u00e1ticas tienen joyas como este fant\u00e1stico y maravilloso n\u00famero tan emparentado con la naturaleza y los procesos naturales. El n\u00famero \u00e1ureo es el resultado de una de las sucesiones m\u00e1s fascinantes y famosas del mundo de las matem\u00e1ticas, como es la serie de Fibonacci. Esta sucesi\u00f3n viene sugerida y debe su nombre al matem\u00e1tico italiano prerrenacentista, Leonardo Fibonacci o Leonardo de Pisa (1170-1240 d.c.), el cual la describi\u00f3, as\u00ed como otras grandes aportaciones como fueron la numeraci\u00f3n ar\u00e1biga, que a la postre tanto influir\u00eda en el desarrollo de la matem\u00e1ticas en el mundo moderno, ya que introduc\u00eda un tipo de numeraci\u00f3n que incorporaba el cero y adem\u00e1s facilitaba enormemente las operaciones matem\u00e1ticas de multiplicaci\u00f3n y divisi\u00f3n, tan complejas bajo la numeraci\u00f3n romana. Pero volviendo a la sucesi\u00f3n de Fibonacci, esta es la que nos ocupa, y marca y determina un n\u00famero conocido desde muy antiguo como el n\u00famero de oro, n\u00famero \u00e1ureo o proporci\u00f3n \u00e1urea.<\/p>\n\n\n\n

Descripci\u00f3n y desarrollo<\/h3>\n\n\n\n

La sucesi\u00f3n es bien simple y se trata de n\u00fameros que se van formando tras la suma de los dos anteriores del modo en que se puede percibir aqu\u00ed:<\/p>\n\n\n ~~~ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 <\/span>\n\n\n\n

Se puede establecer entonces:<\/p>\n\n\n

~~~ i \\in \\mathbb{N}~(1, 2, 3, 4, 5, ...) <\/span>
\n ~~~ S_{i} \\in \\mathbb{N} <\/span><\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n

~~~ S_{i = 1} = 0 <\/span>
\n ~~~ S_{i = 2} = 1 <\/span>
\n ~~~ S_{i > 2} = S_{i-2}~+~S_{i-1} <\/span><\/p>\n\n\n\n

Como se puede ser observar f\u00e1cilmente:<\/p>\n\n\n

~~~ i=3 \\Rightarrow S_{3-2} + S_{3-1} = S_{1} + S_{2} = 0 + 1 = 1<\/span>
\n ~~~ i=4 \\Rightarrow S_{4-2} + S_{4-1} = S_{2} + S_{3} = 1 + 1 = 2<\/span>
\n ~~~ i=5 \\Rightarrow S_{5-2} + S_{5-1} = S_{3} + S_{4} = 1 + 2 = 3<\/span>
\n ~~~ i=6 \\Rightarrow S_{6-2} + S_{6-1} = S_{4} + S_{5} = 2 + 3 = 5<\/span>
\n ~~~ i=7 \\Rightarrow S_{7-2} + S_{7-1} = S_{5} + S_{6} = 3 + 5 = 8<\/span>
\n ~~~ ...<\/span><\/p>\n\n\n\n

Hasta ahora lo que hemos visto es la serie o sucesi\u00f3n de Fibonacci, pero \u00bfd\u00f3nde est\u00e1 el n\u00famero \u00e1ureo o de oro? \u00bfde d\u00f3nde surge? y \u00bfpor qu\u00e9 es tan importante?<\/p>\n\n\n\n

El n\u00famero \u00e1ureo, o la tambi\u00e9n llamada proporci\u00f3n \u00e1urea, es el resultado de la oscilaci\u00f3n de la relaci\u00f3n entre el n\u00famero siguiente y el actual cuando est\u00e1 oscilaci\u00f3n la llevamos al infinito, de modo que queda de la siguiente forma:<\/p>\n\n\n ~~~ \\varphi = lim_{x~\\rightarrow~\\infty}~\\frac{S_{n+1}}{S_{n}} = 1,618033989...<\/span>\n\n\n\n

Se trata de un n\u00famero irracional, que contiene infinitos n\u00fameros sin que estos repitan un patr\u00f3n.<\/p>\n\n\n

Podemos verificar de forma sencilla su oscilaci\u00f3n y su tendencia en el infinito hacia el valor del n\u00famero \\varphi<\/span>:<\/p>\n\n\n

~~~ 2 \/ 1 = 2<\/span>
\n ~~~ 3 \/ 2 = 1.5<\/span>
\n ~~~ 5 \/ 3 = 1.66666...<\/span>
\n ~~~ 8 \/ 5 = 1.6<\/span>
\n ~~~ 13 \/ 8 = 1.625<\/span>
\n ~~~ 21 \/ 13 = 1.6154...<\/span>
\n ~~~ 34 \/ 21 = 1.619...<\/span>
\n ~~~ 55 \/ 34 = 1.6176...<\/span>
\n ~~~ ... <\/span><\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n

Como se puede observar, los valores son oscilantes por encima y por debajo del n\u00famero \\varphi <\/span><\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Esta relaci\u00f3n es bastante peculiar ya que parece que cualquier sucesi\u00f3n num\u00e9rica de orden 2 cuyos t\u00e9rminos sean la suma de los dos anteriores derivan en el n\u00famero \u00e1ureo en su relaci\u00f3n tendente al infinito entre el n\u00famero siguiente y el actual.<\/p>\n\n\n\n

La raz\u00f3n \u00e1urea al final es la relaci\u00f3n que toman los segmentos de un rect\u00e1ngulo que cumplan:<\/p>\n\n\n\n

\"Rect\u00e1ngulo<\/figure>\n\n\n ~~~ \\frac{a + b}{a} = \\frac{a}{b} <\/span>\n

De la que se desprende que:<\/p>\n ~~~ \\varphi = \\frac{a}{b} <\/span>\n

Y operando obtenemos:<\/p>\n

~~~ \\frac{a + b}{a} = 1 + \\frac{1}{{a \/ b}} = \\frac{a}{b}<\/span>
\n ~~~ 1 + \\frac{1}{\\varphi} = \\varphi <\/span><\/p>\n

Y despejando:<\/p>\n ~~~ \\varphi + 1 = \\varphi^2 <\/span>\n

De modo que llegamos a:<\/p>\n ~~~ \\varphi^2 - \\varphi - 1 = 0 <\/span>\n

Y resolviendo la ecuaci\u00f3n de 2\u00ba grado llegamos a:<\/p>\n ~~~ \\varphi = \\frac{1 + \\sqrt{5}}{2} \\approx 1,618033989... <\/span>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Historias del n\u00famero \u00e1ureo<\/h3>\n\n\n\n

El n\u00famero \u00e1ureo es conocido desde antiguo, y ya en civilizaciones como el Antiguo Egipto, conoc\u00edan este n\u00famero, que aplicaron en sus construcciones como se puede observar en construcciones como las Pir\u00e1mides de Giz\u00e1. As\u00ed como, los griegos cl\u00e1sicos tambi\u00e9n aplicaron el conocimiento de este n\u00famero en su arquitectura como atestigua el Parten\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

Pero, \u00bfpor qu\u00e9 raz\u00f3n resulta relevante este n\u00famero? Pues sencillamente porque tiene una enorme aplicaci\u00f3n a la geometr\u00eda que presenta la naturaleza en la construcci\u00f3n de numerosas formas y seres vivos. Se trata del n\u00famero est\u00e9tico por excelencia, de forma que las construcciones que presentan este n\u00famero en sus proporciones son consideradas m\u00e1s arm\u00f3nicas en su est\u00e9tica, y as\u00ed podemos observar obras arquitect\u00f3nicas como el Parten\u00f3n que presentan estas proporciones en sus medidas.<\/p>\n\n\n\n

La espiral de Durero, que se construye tomando como base la secuencia de Fibonacci en su desarrollo, origen del n\u00famero \u00e1ureo, como ya hemos visto, inspira muchas geometr\u00edas espirales observadas en la naturaleza. Aqu\u00ed podemos ver la construcci\u00f3n de esa espiral de Durero en base a la secuencia de Fibonacci.<\/p>\n\n\n\n

Y observaremos como los Nautilus crean sus caparazones siguiendo la espiral:<\/p>\n\n\n\n

\"Nautilus\"<\/figure>\n\n\n\n

O el crecimiento de los girasoles siguiendo secuencias de Fibonacci y creando fractales:<\/p>\n\n\n\n

\"Flor<\/figure>\n\n\n\n

O las galaxias con sus brazos en espiral inspirados en esa raz\u00f3n \u00e1urea y serie de Fibonacci:<\/p>\n\n\n\n

\"Espiral<\/figure>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Breve historia Las matem\u00e1ticas tienen joyas como este fant\u00e1stico y maravilloso n\u00famero tan emparentado con la naturaleza y los procesos naturales. El n\u00famero \u00e1ureo es el resultado de una de…<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":54,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_seopress_robots_primary_cat":"none","_seopress_titles_title":"","_seopress_titles_desc":"","_seopress_robots_index":"","footnotes":""},"categories":[11],"tags":[10,4,3,7,6,12,9,8],"class_list":["post-17","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-numeros-singulares","tag-geometria-sagrada","tag-numero-aureo","tag-numero-de-oro","tag-phi","tag-proporcion-aurea","tag-razon-aurea","tag-serie-de-fibonacci","tag-sucesion-de-fibonacci"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/17","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=17"}],"version-history":[{"count":84,"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/17\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1077,"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/17\/revisions\/1077"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/media\/54"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=17"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=17"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/zynetyka.com\/la-espiral-de-la-vida\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=17"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}